已知:如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,P是底边BC上任意一点,过点P作PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E,F,过点B作BD⊥AC,垂足为D.求证:PE+PF=BD.
题目
已知:如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,P是底边BC上任意一点,过点P作PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为E,F,过点B作BD⊥AC,垂足为D.求证:PE+PF=BD.
答案
证明:过P作PG⊥BD于G,
∵BD⊥AC,PF⊥AC,
∴PG∥DF,GD∥PF(垂直于同一条直线的两条直线互相平行),
∴四边形PGDF是平行四边形(两条对边互相平行的四边形是平行四边形);
又∵∠GDF=90°,
∴四边形PGDF是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形),
∴PF=GD(矩形的对边相等)①
∵四边形PGDF是矩形
∴PG∥DF,即PG∥AC,
∴∠BPG=∠C(两条直线平行,同位角相等),
又∵AB=AC(已知)
∴∠ABC=∠C(等腰三角形的两底角相等),
∴∠BPG=∠ABC(等量代换)
∵在△BPE与△PBG中,
,
∴△BPE≌△PBG(AAS)
∴PE=BG②
①+②:PE+PF=BG+GD
即PE+PF=BD.
根据已知,过P作PG⊥BD于G,可得矩形PGDF,所以PF=GD①,再由矩形PGDF得PG∥AC,又由AB=AC得∠ABC=∠C,所以∠BPG=∠ABC,再∵∠PEB=∠BGP=90°,BP=PB,则△BPE≌△PBG,所以得PE=BG②,①+②得出PE+PF=BD.
等腰三角形的性质.
此题考查的知识点是全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质,关键是作辅助线证矩形PGDF,再证△BPE≌△PBG.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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