对勾函数?

题目

对勾函数?
形如y=ax+b/x的函数叫对勾函数.那么为什么要用ax=b/x来求出它那两个顶点.谁能给我具体的过程.为什么这么做

答案

设y=f(x),因为f(-x)=-f(x),所以对勾函数为奇函数,图像分布在一、三象限,故只需讨论一象限即可,即x＞0,x＜0时同理.
求对勾函数极值的方法有两种：
(1)均值定理
都知道完全平方大于等于零,即(x+y)^2≥0
则x^2+y^2≥2xy
(x+y)^2≥4xy
x+y≥2√(xy)[x,y均为正数]
所以ax+b/x≥2√(ab)
(2)导函数
因为极值点f'(x)=0
对勾函数的导函数为y'=a-bx^-2
当y'=0时,x=√(b/a),y=2√(ab)
如果单纯说为何要在ax=b/x时取极值,可以从以下途径去解释.
可设y1=ax,y2=b/x,则y=y1+y2,其中y1为正比列函数,y2为反比例函数
y2的导函数y'2=-bx^-2
y1与y2的焦点为ax=b/x处(设为A点)
y2在A点的斜率为-a(导函数对应的函数值),说明y2在A点的切线恰好与y1关于一条平行于x轴的直线对称,即y2在A点的切线函数与y1之和恰好为一个常数k(y=k即为上面那一条关于x轴平行的直线),而y2在A点两侧的函数值均大于切线的函数值(从双曲线图像可以看出),y1与y2在任意x(x＞0)处的函数值之和均大于常数k,即函数y=y1+y2=ax+b/x在y1与y2的交点处取最小值.
你可以在图上画画看!