求证：当k≠-1时,方程x^2+y^2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0 都表示圆,且这些圆中任意两个圆都相切

题目

求证：当k≠-1时,方程x^2+y^2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0 都表示圆,且这些圆中任意两个圆都相切

答案

证明：
先将方程因式分解成为圆的形式
得(x+k)^2+(y+2k+5)^2=5k^2+10k+5
(x+k)^2+(y+2k+5)^2=5(k+1)^2
k≠-1 保证5(k+1)^2≠0
因此,方程x^2+y^2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0 都表示圆
分别设任意k1、k2≠-1
得两个圆(x+k1)^2+(y+2k1+5)^2=5(k1+1)^2和(x+k2)^2+(y+2k2+5)^2=5(2k+1)^2
两圆的圆心距的平方d^2=(k1-k2)^2+(2k1-2k2)^2
两圆的半径之差的平方为（R1-R2）^2=(k1-k2)^2+(2k1-2k2)^2=d^2
所以任意两圆都相切