关于 高数三重积分的球坐标代换的问题 关于元素ψ 求达人

题目

关于 高数三重积分的球坐标代换的问题 关于元素ψ 求达人
三重积分的球坐标代换,是将被积函数的 x换成ρsinψcosθ,y换成ρsinψsinθ,z换成ρcosψ
若积分区域是由曲面S围成的,这里就有一个 有关于S的球坐标方程ρ=ρ(ψ,θ)
也就是说三重积分球坐标代换后的 dρ的积分区间 就是这个 ρ=ρ(ψ,θ) 到 0
那 这个 球坐标方程ρ=ρ(ψ,θ) 到底是什么 元素ψ 又是代表什么

答案

从代数上看,你不用管这是什么,只需要知道球坐标变换将边界曲面映为边界曲面,因此
原积分区域边界曲面S:s(x,y,z)=0,代入x,y,z的球坐标表达式得到ρ=ρ(ψ,θ),那么ρ的范围就是
从0到ρ=ρ(ψ,θ).然后定ψ和θ,如果没有别的要求,那么ψ就是从0到pi,θ就是从0到2pi或者从--pi到pi.如果有别的曲面要求继续代入求解.这里面要注意一点的就是定ψ和θ的范围时要用到ρ(ψ,θ)>=0这个条件.比如解得ρ(ψ,θ)=ρsinψ*cosθ,那么就必须有这个条件：sinψ*cosθ>=0.这是从代数角度看.
建议从几何角度看更好,或者代数与几何结合.
ψ的含义就是半径从北极点开始往下转过的角度,结合地球仪的述语说就是转到赤道时对应的是pi/2,转到南极时对应的就是pi,转到北纬45度时对应的就是pi/4,转到南纬45度时对应的就是3pi/4.而θ就是经度了,随便一般是选定x轴正向做起点,然后绕着z轴旋转转过的角度就是θ.
类似地球仪上的经度,比如定义东经0度就是θ=0,东经90度就是pi/2,东经180度就是pi,继续转,西经90度就是3pi/2,西经180（东经0度）就是2pi了.
明了这个关系,就很容易定出ψ和θ的范围了.