设a>0,函数f(x)=1/2x2−(a+1)x+alnx. (1)若曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为-1,求a的值; (2)求函数f(x)的极值点.

设a>0,函数f(x)=1/2x2−(a+1)x+alnx. (1)若曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为-1,求a的值; (2)求函数f(x)的极值点.

题目
设a>0,函数f(x)=
1
2
x2−(a+1)x+alnx

(1)若曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为-1,求a的值;
(2)求函数f(x)的极值点.
答案
(1)由已知x>0
f′(x)=x−(a+1)+
a
x

曲线y=f(x)在(2,f(2))处切线的斜率为-1,
所以f'(2)=-1即2−(a+1)+
a
2
=−1
,解得a=4
(2)f′(x)=x−(a+1)+
a
x
x2−(a+1)x+a
x
(x−1)(x−a)
x

①当0<a<1时,
当x∈(0,a)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈(a,1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
此时x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点.
②当a=1时,
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,
当x=1时,f'(x)=0,
当∈(1,+∞)时,f'(x)>0
所以函数f(x)在定义域内单调递增,此时f(x)没有极值点.
③当a>1时,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈(a,1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;
当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.
此时x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点.
综上,当0<a<1时,x=a是f(x)的极大值点,x=1是f(x)的极小值点;
当a=1时,f(x)没有极值点;
当a>1时,x=1是f(x)的极大值点,x=a是f(x)的极小值点
(1)由对数函数的定义得到函数的定义域为x大于0,求出f′(x),根据曲线在(2,f(2))处切线的斜率为-1,得到f'(2)=-1,代入导函数得到关于a的方程,求出a的解即可;
(2)令f′(x)=0求出x的值为1和a,然后分0<a<1,a=1和a>1三个区间在定义域内利用x的范围讨论导函数的正负即可得到函数的增减区间,利用函数的增减性得到函数的极值即可.

利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的极值.

此题是一道综合题,要求学生会求曲线上过某点的切线方程的斜率,会利用导数研究函数的极值.以及会运用分类讨论的数学思想解决实际问题.

举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.