数列{an}中,a1=1,a(n+1)=1/4an+√an+1,a7=?

题目

数列{an}中,a1=1,a(n+1)=1/4an+√an+1,a7=?

答案

解法一
暴力计算
a1=1,a2=9/2,a3=...
不推荐,但是如果考试中想不出解法却有多余的时间可以试试
解法二
先化解
a(n+1)=(sqrt(an)/2+1)^2
然后暴力计算,理由同上
解法三（真正的一般化算法）
易知an>0
a(n+1)=(sqrt(a(n))/2+1)^2
sqrt(a(n+1))=sqrt(a(n))/2+1
设
sqrt(a(n+1))-c=½(sqrt(a(n))-c)
c=2
设
bn=sqrt(an)-2
那么
b1=-1,b(n+1)=½b(n) => b(n)=- ½^(n-1)
an=(bn+2)^2
b7=- 1/64
a7=(127/64)^2