求求你们了~求证2的1987方+3×5的1325方能被17整除

题目

求求你们了~求证2的1987方+3×5的1325方能被17整除

答案

2的1987方+3×5的1325方
= 2^3×(17 - 1)^496 + 3×5×(17 + 8)^662
= 8×(17 - 1)^496 + 15×(17 + 8)^662
根据二项式展开定理,上式展开后,不含因数17的项仅有：
8×(-1)^496 + 15×8^662,即8 + 15×2^1986
因：2^4 = 16 被17除余-1,显然2^8被17除余1.
1986 ÷ 8 = 248 …… 余2
因此2^1986 被17除的余数,等价于2^2被17除的余数,就是4.
综上,原式与：8 + 15×4 = 68 同余
而68 ÷ 17 = 4 …… 余0
因此证得2的1987方+3×5的1325方能被17整除.