lim(2+4+6+...+2^n)/(1+3+5+...+2^n-1)

题目

lim(2+4+6+...+2^n)/(1+3+5+...+2^n-1)
lim(1+1/2+1/4+...+1/2^n-1)/(1+1/3+1/9+...+1/3^n-1)
怎么解
n-无穷大

答案

2+4+6+...+2^n=n(2+2^n)/2=n[1+2^(n-1)]
1+3+5+...+(2^n-1)=(2+4+6+...+2^n)-n=n*2^(n-1)
lim(2+4+6+...+2^n)/(1+3+5+...+2^n-1)
=lim{n[1+2^(n-1)]}/[n*2^(n-1)]
=lim[1+2^(n-1)]/2^(n-1)
=lim[1/2^(n-1)+1]
=1

1+1/2+1/4+...+1/2^(n-1)=2-1/2^(n-1)
1+1/3+1/9+...+1/3^(n-1)=1/2[3-1/3^(n-1)]
lim[1+1/2+1/4+...+1/2^(n-1)]/[1+1/3+1/9+...+1/3^(n-1)]
=lim2[2-1/2^(n-1)]/[3-1/3^(n-1)]
=2lim2/3
=4/3