若抛物线y=-x2+2ax+b的顶点在直线mx-y-2m+1=0上移动,且与抛物线y=x2有公共点,求m的取值范围.
题目
若抛物线y=-x2+2ax+b的顶点在直线mx-y-2m+1=0上移动,且与抛物线y=x2有公共点,求m的取值范围.
答案
∵y=-x
2+2ax+b=-(x-a)
2+a
2+b,
∴顶点坐标为(a,a
2+b),
代入mx-y-2m+1=0中,得ma-(a
2+b)-2m+1=0,
即b=ma-a
2-2m+1,
联立
,
解得-2x
2+2ax+b=0,
∵两抛物线有公共点,
∴△=(2a)
2-4×(-2)×b≥0,
即a
2+2b≥0,
a
2+2(ma-a
2-2m+1)≥0,
整理,得2(a-2)m≥a
2-2,
当a=2时,无解,
当a>2时,
m≥
=
[a-2+
+4]≥
+2,当a=2+
时取等号;
当a<2时,
m≤
=
[a-2+
+4]≤-
+2,当a=2-
时取等号.
用配方法将抛物线y=-x2+2ax+b写成顶点式,求出顶点坐标,代入直线mx-y-2m+1=0中,再联立两条抛物线的解析式,当两抛物线有交点时,△≥0,解不等式即可.
二次函数的性质.
本题考查了抛物线的顶点坐标的求法,两抛物线的交点坐标的求法,以及解不等式的相关知识,分类讨论问题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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