非零向量ab夹角为60,且|a-b|=1,则|a+b|的取值范围

题目

非零向量ab夹角为60,且|a-b|=1,则|a+b|的取值范围

答案

|a-b|=1
|a-b|^2=1
(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=1=a^2+b^2-2|a||b|cos60°=|a|^2+|b|^2-|a||b|≥2|a||b|-|a||b|=|a||b|,得
|a||b|≤1
则|a+b|^2=(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=a^2+b^2+2|a||b|cos60°=|a|^2+|b|^2+|a||b|=|a|^2+|b|^2-|a||b|+2|a||b|
=1+2|a||b|≤1+2×1=3
而|a+b|^2=|a|^2+|b|^2+|a||b|=|a|^2+|b|^2-|a||b|+2|a||b|≥|a|^2+|b|^2-|a||b|=1
故有1≤|a+b|≤√3