如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证： （1）AC⊥BC1； （2）AC1∥平面B1CD．

题目

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，点D是AB的中点．求证：

（1）AC⊥BC₁；
（2）AC₁∥平面B₁CD．

答案

证明：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∵CC₁⊥平面ABC，
∴CC₁⊥AC，
又AC⊥BC，BC∩CC₁=C，
∴AC⊥平面BCC₁B₁
∴AC⊥BC₁．
（2）设BC₁与B₁C的交点为O，连接OD，BCC₁B₁为平行四边形，则O为B₁C中点，又D是AB的中点，
∴OD是三角形ABC₁的中位线，OD∥AC₁，
又∵AC₁⊄平面B₁CD，OD⊂平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD．