计算含参变量积分求导问题(数学分析)

题目

计算含参变量积分求导问题(数学分析)
在定积分一章中,变上限积分原函数存在定理,提供了一种求导方法.
而在多元函数微分学一章中,讨论了含参量积分的连续性、可微性、可积性.其中可微性内容中又有求含参量积分的导数的公式.
请问这两者内容是否统一?
有以下2题目：
①F(t)=积分（0到2t+1） ln(x^2+t^2)dx ,求 F'(-1)
②f(x)=积分（3到2x-1）[sin(y-x) / (1+y^2)]dy,求 f'(x)
第二个题的被积函数显然应是二元函数.
那么①问题的被积函数是多元函数吗?t是否看作是y?这个疑问是否会影响到①的最终求解?
答好了追加分数.

答案

①问题中的被积函数是多元函数,即被积函数为g(x,t)=ln(x²+t²),过程为F'(t)=∫ ∂g(x,t)/∂t dx=∫ 2t/(x²+t²)dx=2arctan(x/t)| [0,2t+1]=2 arctan[(2t+1)/t]从而F'(-1)=2arctan1=π/2...