二元函数的最值

题目

二元函数的最值
一根长为L的铁丝分为三段,以每段围成一个正方形,求使三个正方形面积最小,如何分?

答案

设三段长度分别是 a、b、c,则三个小正方形面积和为：S=(a/4)²+(b/4)²+(c/4)²；
S≥3[(a/4)²*(b/4)²*(c/4)²]^(1/3)=(3/4²)(abc)^(2/3),当且仅当a=b=c时（即三等分L）等号成立；
因此 S最小值是 min S=(3/16)[(L/3)³]^(2/3)=(3/16)*(L/3)²=L²/144；