在三角形ABC中,若AD是边BC上的高,且AD=BC,b/c+c/b的最大值

题目

在三角形ABC中,若AD是边BC上的高,且AD=BC,b/c+c/b的最大值

答案

由面积关系得a²=bcsinA①
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA②
将①代入②得bc（sinA+2cosA)=b²+c²
即b/c+c/b=b²+c²/bc=sinA+2cosA=√5sin（A+α）≤√5
其中tanα=2
因此b/c+c/b的最大值为√5
又可算出sinα=2/√5
所以取值范围：（2,√5]
sinA+2cosA=√5sin（A+α）的原因
是由以下公式来的
Asinα+Bcosα
= √（A+B）[A/√（A+B)* sinα+ B/√（A+B）cosα]
=√（A+B） sin(α+φ)
其中sinφ =B/√（A+B）,cosφ=A/√（A+B)
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