在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足（sinB+sinA）（b-a）=c（sinB-sinC） （1）求角A的值； （2）求f（x）=sin2xcosA+cos2xsinA，x∈[0

题目

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足（sinB+sinA）（b-a）=c（sinB-sinC）
（1）求角A的值；
（2）求f（x）=sin2xcosA+cos2xsinA，x∈[0，π]的最值及单调递减区间．

答案

（1）由题意，（sinB+sinA）（b-a）=c（sinB-sinC）
∴（b+a）（b-a）=c（b-c）
∴b²+c²-a²=bc，∴cosA＝

1

2

∵A∈（0，π），∴A＝

π

3

（2）f(x)＝sin2xcosA+cos2xsinA＝sin(2x+A)＝sin(2x+

π

3

)
∵x∈[0，π]，∴2x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

3

]
从而当2x+

π

3

＝

π

2

，即x＝

π

12

时，f（x）_max=1
由

π

2

≤2x+

π

3

≤

3π

2

得

π

12

≤x≤

7π

12

，从而f（x）的单调递减区间为[

π

12

，

7π

12

]

（1）根据（sinB+sinA）（b-a）=c（sinB-sinC），利用正弦定理，再结合余弦定理，即可求角A的值；
（2）将函数化简，确定2x+

π

3

∈[

π

3

，

7π

3

]，从而可求函数的最值及单调递减区间．

本题考点：余弦定理的应用；复合三角函数的单调性．

考点点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，正确化简函数是关键．