设f(x)在[0,+∞)上连续,单调减少,0〈a〈b,求证a∫(0,b)f(x）dx≤b∫(0,a)f(x)dx

题目

设f(x)在[0,+∞)上连续,单调减少,0〈a〈b,求证a∫(0,b)f(x）dx≤b∫(0,a)f(x)dx

答案

a∫(0,b)f(x）dx≤b∫(0,a)f(x)dx
则[∫(0,b)f(x)dx]/b≤[∫(0,a)f(x)dx]/a
由于设f(x)在[0,+∞)上连续,单调减少,0〈a〈b,上面不等式直观意义就是平均值越来越小
设F(x)=[∫(0,x)f(t)dt]/x
则只需证明F(x)单调下降即可
F'(x)=(xf(x)-∫(0,x)f(t)dt)/x*x=(∫(0,x)(f(x)-f(t))dt)/x*x