三棱锥的三组相对的棱（相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱）分别相等，且长各为2、m、n，其中m2+n2=6，则该三棱锥体积的最大值为（　　） A.12 B.8327 C.33 D.23

题目

三棱锥的三组相对的棱（相对的棱是指三棱锥中成异面直线的一组棱）分别相等，且长各为

2

、m、n，其中m²+n²=6，则该三棱锥体积的最大值为（　　）
A.

1

2

B.

8 3

27

C.

3

3

D.

2

3

答案

如图设长方体的三度为，a，b，c；所以所求三棱锥的体积为：abc-4×13×12abc=13abc．a2+b2=2，b2+c2=n2，a2+c2=m2，所以2（a2+b2+c2）=n2+m2+2=8．a2+b2+c2=4．因为4≥33(abc)2，abc≤(43)3=839此时a=b=c，与n2+m2=6...

三棱锥扩展为长方体，三棱锥的体积转化为长方体的体积与四个三棱锥的体积的差，推出B不正确，则C不正确，通过特殊图形说明D正确．

本题考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：本题考查几何体的体积的求法，扩展为长方体是解题的关键，考查基本不等式的应用，转化思想与计算能力．