1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+.10×11等于多少

题目

1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+.10×11等于多少
过程和结果,不能用死算方法

答案

方法一：使用公式
平方和1²+2²+...+n² = n(n+1)(2n+1)/6
自然数和公式 1+2+.+n=n(n+1)/2
所求=1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+.10×11
=1*1+1+2*2+2+3*3+3+4*4+4+.+10*10+10
=(1²+2²+...+10²)+(1+2+3+.+10)
=10(10+1)(2*10+1)/6+10(1+10)/2
=385+55
=440
方法二：利用公式C（n,m)+C(n,m-1)=C(n+1,m)
所求=1×2+2×3+3×4+4×5+5×6+6×7+.10×11
=2[（1×2)/2+(2×3)/2+(3×4)/2+(4×5)/2+(5×6)/2+(6×7)/2+.(10×11)/2]
=2[C(2,2)+C（3,2）+C(4,2)+.+C(11,2)]
=2[C(3,3)+C（3,2）+C(4,2)+.+C(11,2)]
=2[C(4,3)+C(4,2)+.+C(11,2)]
=.
=2C(12,3)
=2*12*11*10/6
=440