高数：设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1

题目

高数：设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证：对于任意给定的正数a,b,在(0,1)内存在不同的ζ,η,使a/f'(ζ)+b/f'(η)=a+b.
提示：利用介值定理,再应用拉格朗日中值定理

答案

由介值定理,存在c∈(0,1),使f(c) = a/(a+b).
由Lagrange中值定理,存在ζ∈(0,c),使f'(ζ) = (f(c)-f(0))/(c-0),即有(a+b)c = a/f'(ζ).
又存在η∈(c,1),使f'(η) = (f(1)-f(c))/(1-c),即有(a+b)(1-c) = b/f'(η).
于是ζ < η满足a/f'(ζ)+b/f'(η) = a+b.