∫(sec x)^3=?

题目

∫(sec x)^3=?

答案

∫sec³x dx
=∫(secx)(sec²x) dx
=∫secx d(tanx)
=secx*tanx - ∫tanx d(secx),这里运用分部积分法
=secx*tanx - ∫(tanx)(secx*tanx) dx
=secx*tanx - ∫(secx)(tan²x) dx
=secx*tanx - ∫(secx)(sec²x - 1) dx
=secx*tanx - ∫(sec³x - secx) dx
=secx*tanx + ∫secx dx - ∫sec³x dx,将∫sec³x dx移过左边
因为2∫sec³x dx = secx*tanx + ∫secx dx
所以∫sec³x dx = (1/2)(secx*tanx) + (1/2)ln|secx + tanx| + C
注意∫secx dx = ln|secx + tanx| + C