等腰三角形ABC中AB＝AC,P为底边BC上任一点,自点P向两腰作垂线PE,PF,E,F为垂足.求证PE＋PF为定值.

题目

等腰三角形ABC中AB＝AC,P为底边BC上任一点,自点P向两腰作垂线PE,PF,E,F为垂足.求证PE＋PF为定值.

答案

证明：设PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别E,F.过点C作CM⊥AB,垂足为M
过点C作CG⊥EP,交EP点延长线于点G
∴CG‖AB ∴∠GCP=∠B∵AB=AC∴∠ACB=∠B∴∠GCP=∠ACB
又∵∠PGC=∠PFC PC=PC ∴△PCG≌PCF∴PG=PF
∵PE⊥AB CM⊥AB CG⊥EG ∴∠GEM=∠CGE=∠CME=90°∴四边形CMEG是矩形
∴EG=CM ∴PE+PF=PE+PG=EG=CM
∴PE+PF为定值.（CM为腰AC的高,为定值）