高中数学思考题

题目

高中数学思考题
求M=min{x,1/y,y+1/x}的最大值
求P=max{y,1/x,x+1/y}的最小值

答案

(1)
显然x,y>0才可保证取到最大的M
当x=y=1时,x=1,1/y=1,y+1/x=2,此时x=1/y若想使M变大,即需使较小的x和1/y变大
注意到正数范围内,随着x变大,1/x变小;随着1/y变大,y变小
所以随着x和1/y变大,较大的y+1/x会变小,且此过程在正数范围内是单调的
所以当x=1/y=y+1/x,即x=根号2,y=(根号2)/2时,M=根号2
(2)
将第一问所有值取相反数即可,P=-根号2
(若在正数范围内此题更有意义,
有第一问的经验,可直接令y=根号2,x=(根号2)/2
此时y=1/x=x+1/y,P=根号2
若想使P更小,即三数最大值小于根号2,则有三个数均小于根号2
另一方面,由(1)中推出的规律,
将y放大至根号2,1/x放大至根号2,x+1/y恰好为根号2,小于y和1/x未放大时的值
所以当y和1/x均小于根号2时,x+1/y大于根号2,则P>根号2
综上所述,P=根号2)