已知数列{a}第一项a1=1,且an+1=an/1+an(n=1,2,3,.)

题目

已知数列{a}第一项a1=1,且an+1=an/1+an(n=1,2,3,.)
①求a2,a3,a4,的值,
②猜想数列{a}的通项公式并证明猜想

答案

a1=1、a(n+1)=an/(1+an)
①a2=a1/(1+a1)=1/2
a3=a2/(1+a2)=(1/2)/(1+1/2)=1/3
a4=a3/(1+a3)=(1/3)/(1+1/3)=1/4
②猜想数列{a}的通项公式为an=1/n.
用数数归纳法证明.
1)n=1,则a1=1,命题成立.
2)假设n=k时命题成立,即ak=1/k.
3)求证n=k+1时命题成立,即a(k+1)=1/(k+1).
证明：
a(k+1)=ak/(1+ak)
=(1/k)/[1+1/k)
=(1/k)/[(k+1)/k]
=1/(k+1)
所以,n=k+1时,命题成立.
因此,通项公式为：an=1/n,n为正整数.