a、b、c为正整数，且a2+b3=c4，求c的最小值．

题目

a、b、c为正整数，且a²+b³=c⁴，求c的最小值．

答案

显然c＞1，由题设得（c²-a）（c²+a）=b³，
若取

(c2−a) ＝b c2+a＝b2

，则c²=

b(b+1)

2

，
由大到小考察b，使

b(b+1)

2

为完全平方数，易知当b=8时，c²=36，c=6，a=28，
下面说明c没有比6更小的整数解，列表如下：

c	c4	x3（x3＜c4）	c4-x3
2	16	1，8	17，8
3	81	1，8，27，64	80，73，54，17
4	256	1，8，27，64，125，216	155，248，229，192，131，40
5	625	1，8，27，64，125，216，343， 512	624，617，598，561，500，409，282， 113

显然，表中c⁴-x³的值均不是完全平方数，
故c的最小值为6．

根据题意得出（c²-a）（c²+a）=b³，然后c²可表示为：

b(b+1)

2

，由此讨论b的值可得出c的最小值．

本题考点：完全平方数．

考点点评：本题考查完全平方数的知识，难度较大，关键是通过因式分解得出c的表达式，然后再观察b的值，列表说明问题．