2008年全国卷1数学一题解答

题目

2008年全国卷1数学一题解答
已知三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC内的射影为⊿ABC的中心,则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于?
一楼回答者··
谢谢你的提示
不过我也是这样算的
选择题的选项没有算出来的那个答案··

答案

设⊿ABC的中心为O,连接A`O,可知,A`O为⊿ABC的垂线,连接AO,
因为三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,所以可得AO=根3/3*AB A`O=根6/3*AB
过B作BD平行且等于AO 连接B`D
所以,四边形AODB为平行四边形,所以AB平行且等于OD,又因为三棱柱ABC—A1B1C1,所以A`B`平行且等于AB,可得DO平行且等于A`B`
因此四边形A`B`DO为平行四边形,因此B`为
面ABC的垂线,同时可得AD=根21/3*AB
所以AB`=根3*AB
所以AB1与底面ABC所成角为角DAB`
则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于根2/3