已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且y=f(x+1)为偶函数,f(2)=1,则不等式f(x)<ex的解集为( ) A.(-∞,e4) B.(e4,+
题目
已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x),且y=f(x+1)为偶函数,f(2)=1,则不等式f(x)<ex的解集为( )
A. (-∞,e4)
B. (e4,+∞)
C. (-∞,0)
D. (0,+∞)
答案
∵y=f(x+1)为偶函数
∴y=f(x+1)的图象关于x=0对称
∴y=f(x)的图象关于x=1对称
∴f(2)=f(0)
又∵f(2)=1
∴f(0)=1
设
g(x)=(x∈R),
则
g′(x)==又∵f′(x)<f(x)
∴f′(x)-f(x)<0
∴g′(x)<0
∴y=g(x)单调递减
∵f(x)<e
x∴
<1即g(x)<1
又∵
g(0)==1∴g(x)<g(0)
∴x>0
故答案为:(0,+∞)
举一反三
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