计算球体x^2+y^2+z^2

题目

计算球体x^2+y^2+z^2<=4z被曲面z=4-x^2-y^2所分两部分的体积比

答案

所给球体是球心在 (0,0,2)、半径等于 2 的球,曲面则是顶点在 (0,0,4)、开口向下的旋转抛物面；
球体被旋转抛物面所切割（含于内）部分可分成下部的球缺和上部旋转抛物体；
切割线的方程为：(4-z)+z²=4z,解得 z=1（z=4 即曲面顶点,也在球体上）,x²+y²=3；
球缺体积 V1=πh²[r-(h/3)]=π*1²*[2-(1/3)]=5π/3；
平面 z=1 以上旋转抛物体体积 V2=∫{z=1→4} π(4-z)dz=9π/2；
切割所得旋转抛物面内那部分的体积 V=V1+V2=37π/6；
球体总体积 V0=4πr³/3=32π/3；
所求体积比 =V/(V0-V)=(37π/6)/[32π/3 -37π/6]=37/27；