如何将假分式分解为多项式和真分式的和?

题目

如何将假分式分解为多项式和真分式的和?
同济六版不定积分部分有的题是假分式形式,如何化成可以做的真分式+多项式呢?例如：(x^5+x^4-8)/(x^3-x)dx 有没有常用的方法什么的,我有的题可以化出来但有的不行.

答案

一般用综合除法
但我喜欢用加零分解凑分母因式的方法,如本题：
x^5+x^4-8=x^5-x^3+x^4-x^2+x^3-x+x^2+x-8 .按x^3-x凑,直到剩余项次数小于分母次数,
注意与原式要等
=x^2(x^3-x)+x(x^3-x)+(x^3-x)+x^2+x-8
=(x^3-x)(x^2+x+1)+x^2+x-8
于是(x^5+x^4-8)/(x^3-x)=x^2+x+1+(x^2+x-8)/(x^3-x)