如图,在平面直角坐标系中,A点的坐标为(4,0),B点的坐标为(0,4),C点的坐标为(8,0).点P是直线BC在第一象限上的一点,O是原点. (1)求直线BC的解析式; (2)设P点的坐标为
题目
如图,在平面直角坐标系中,A点的坐标为(4,0),B点的坐标为(0,4),C点的坐标为(8,0).点P是直线BC在第一象限上的一点,O是原点.
(1)求直线BC的解析式;
(2)设P点的坐标为(x,y),△OPA的面积为S,试求S关于x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(3)是否存在点P,使PO=PA?若存在,请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
(1)设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0).则依题意得
,
解得
.
所以直线BC的解析式为y=-
x+4;
(2)如图,过点P作PD⊥x轴于点D.
∵点P是直线y=-
x+4在第一象限上的一点,且坐标为(x,y),
∴PD=|y|=|-
x+4|=-
x+4.
∵A点的坐标为(4,0),
∴OA=4,
∴△OPA的面积为:S=
OA×PD=×4×(−x+4)=−x+8(0<x<8);
(3)存在点P,使PO=PA.理由如下:
假设存在这样的点P,过P点作PD⊥x轴于D.
当PO=PA时,则OD=AD=
OA=2,
又点P是直线y=-
x+4在第一象限上的一点,
∴PD=-
×2+4=3.
∴在第一象限存在1个点P(2,3),使OP=AP.
(1)根据点B、C的坐标,利用待定系数法求得直线BC的解析式;
(2)如图,过点P作PD⊥x轴于点D.根据一次函数图象上点的坐标特征得到点P的坐标为(x,-
x+4),则PD=|y|=|-
x+4|=-
x+4;然后根据三角形的面积公式列出S关于x的关系式;
(3)存在点P,使PO=PA.利用假设法进行证明:假设存在这样的点P,过P点作PD⊥x轴于D.根据等腰三角形“三线合一”的性质求得OD=AD=2,即点P的横坐标为2,则把点P的横坐标代入直线BC的解析式,求得点P的纵坐标,根据点P的坐标来证得结论.
一次函数综合题.
本题综合考查了待定系数法求一次函数解析式,点的坐标与图形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征.本题中根据点的坐标求出点与点的距离是解题的基础.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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