过点M(3,1)作直线与圆O:x2+y2=16相交于A,B两点,求AOB面积的最大值,冰求此时的直线的方程

题目

过点M(3,1)作直线与圆O:x2+y2=16相交于A,B两点,求AOB面积的最大值,冰求此时的直线的方程

答案

显然点M在圆内
x^2+y^2=16
圆心是(0,0),半径是r=4
设圆心到直线的距离是d
则弦长是2*√(4^2-d^2)=2√(16-d^2)
那么三角形AOB的面积是S=2√(16-d^2)*d/2=d√(16-d^2)≤[d^2+(√(16-d^2))^2]/2=8
(利用不等式a^2+b^2≥2ab)
当且仅当d=√(16-d^2),即d=2√2时取得最大值
设直线的斜率是k
那么y-1=k(x-3)
即kx-y+1-3k=0
所以d=|1-3k|/√(k^2+1)=2√2
解得k=-1或k=7
所以直线方程是x+y-4=0或7x-y-20=0
如果不懂,请Hi我,祝学习愉快!