已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2，数列{bn}满足b1=1，且bn+1=bn+2．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）设cn=1-(-1)n2an-1+(-1)n2bn

题目

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-2，数列{b_n}满足b₁=1，且b_n+1=b_n+2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=

1-(-1)n

2

an-

1+(-1)n

2

bn，求数列{c_n}的前2n项和T_2n．

答案

（1）当n=1，a₁=2；                         …（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1．…（2分）
∴{a_n}是等比数列，公比为2，首项a₁=2，
∴an=2n．…（3分）
由b_n+1=b_n+2，得{b_n}是等差数列，公差为2．…（4分）
又首项b₁=1，
∴b_n=2n-1．…（6分）
（2）cn=

2n -(2n-1)

n为奇数 n为偶数

…（8分）
∴T2n=2+23+…+22n-1+[3+7+…+（4n-1）]
=

2(1-4n)

1-4

+

3+4n-1

2

•n（10分）
=

22n+1-2

3

-2n2-n．                      …（12分）

（1）当n=1，可求a₁，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1可得a_n与a_n-1的递推关系，结合等比数列的通项公式可求a_n，由b_n+1=b_n+2，可得{b_n}是等差数列，结合等差数列的通项公式可求b_n．
（2）由题意可得cn＝

2n −(2n−1)

n为奇数 n为偶数

，然后结合等差数列与等比数列的求和公式，利用分组求和即可求解

本题考点：数列递推式；数列的求和．

考点点评：本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式的应用及求和公式的应用，体现了分类讨论思想的应用