设A,B为n阶方阵,如果B可逆,且满足关系：A²+AB+B²=0,证明：A和（A+B)均可逆

题目

设A,B为n阶方阵,如果B可逆,且满足关系：A²+AB+B²=0,证明：A和（A+B)均可逆

答案

由B可逆知 |B| != 0
由 A²+AB+B²=0 得 A(A+B) = -B².
两边取行列式得 |A||A+B| = | -B² | = (-1)^n |B|² != 0
所以 |A| != 0 且 |A+B| != 0.
所以 A 与 A+B 都可逆.