三角形ABC中 求证：[1/(1+sin(A/2))]+ [1/(1+sin(B/2))]+ [1/(1+sin(C/2))]>=2

题目

三角形ABC中 求证：[1/(1+sin(A/2))]+ [1/(1+sin(B/2))]+ [1/(1+sin(C/2))]>=2

答案

设三角形ABC中,顶点A、B、C所对边长分别为a、b、c
内切圆圆心为O,半径为r,切BC、CA于D、E
延长AO交BC于F
过A作BC上的高AG,长为hA
1/(1+sin(A/2))=1/(1+OE/OA)
=OA/(OA+r)
因为OA+r<=AF
所以1/(1+sin(A/2))>=OA/AF
=1-OF/AF
=1-OD/AG
=1-r/hA
因为ar/2+br/2+cr/2=S=ahA/2
所以r/hA=a/(a+b+c)
所以1/(1+sin(A/2))>=1-a/(a+b+c)
同理可得：
1/(1+sin(B/2))>=1-b/(a+b+c)
1/(1+sin(C/2))>=1-c/(a+b+c)
所以原不等式左边>=1-a/(a+b+c)+1-b/(a+b+c)1-c/(a+b+c)=2