梯形的重心位置

题目

梯形的重心位置
设梯形上底为AB,下底为CD,取AB中点P,CD中点Q,连PQ,在PQ上取G点,使PG+GQ=(AB+2CD)：(CD+2AB),则点G为梯形的几何中心（重心）.
几何作法：
1）取AB中点P,CD中点Q,连PQ；
2）延长AB至E,使BE=CD；延长CD至F,使DF=AB；
3）连EF与PQ交于G.
则点G为梯形的几何中心（重心）.
如何证明它的正确性?

答案

这个问题不难证明.
你按照题目里的几何做法,画出图形,然后分析PEG和QFG这两个三角形,由于DE和FQ是平行的,那么角E=角F,又因为角DGE=角QGF（对顶角相等）,容易证明三角形PEG和三角形QFG是相似的.
那么根据相似三角形的性质,对应边成比例,所以有：PG：QG=PE：QF,而PE=PB+BE=AB/2+CD,QF=QD+DF=CD/2+AB,那么：
PG：QG=（AB/2+CD）：（CD/2+AB）=(AB+2CD)：(CD+2AB).得证