高中函数题 设函数f(x)=1/[(x+1)ln(x+1)] (x>-1且x不等于0

题目

高中函数题 设函数f(x)=1/[(x+1)ln(x+1)] (x>-1且x不等于0
(1）求函数f(X)的单调区间
（2）求函数f(X)值域
（3）已知2^1/x+1 >(x+1)^m 对任意x属于（-1,0）恒成立,求实数m的取值范围
不要抄SOSO上的,满意追加20分,重点是第二问

答案

令x+1=t(t>0),则先求g(t)=tlnt的值域
当t→+∞时g(t)→+∞,
g(1/t)=ln(1/t)/t=-lnt/t→0,即t→0时,g(t)→0
g'(t)=1+lnt 易得g(t)在(0,1/e)上为负且递减,在(1/e,+∞)递增；其中g(t)在(1,+∞)为正.
所以,f(x)在(0,1/e-1)递增,在(1/e-1,0)递减,在(0,+∞)递减.
f(1/e-1)=-e
所以f(x)的值域为(-∞,-e]∪(0,+∞)
（3）取对数,m右边记作ln2×h(x) h'(x)=-(x+ln(x+1))/x²ln²(x+1)>0
h(x)递增,lim[x→-1]h(x)=0
所以m≤0