已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(1,0),B(2,0),C(0,-2),直线x=m(m>2)与x轴交于点D. (1)求二次函数的解析式;(2)在直线x=m(m>2)上有一点E
题目
已知二次函数y=ax
2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(1,0),B(2,0),C(0,-2),直线x=m(m>2)与x轴交于点D.
(1)求二次函数的解析式;
(2)在直线x=m(m>2)上有一点E(点E在第四象限),使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似,求E点坐标(用含m的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形?若存在,请求出m的值及四边形ABEF的面积;若不存在,请说明理由.
答案
(1)根据题意,得
解得a=-1,b=3,c=-2.
∴y=-x
2+3x-2.
(2)当△EDB∽△AOC时,
得
=或
=,
∵AO=1,CO=2,BD=m-2,
当
=时,得
=,
∴
ED=,
∵点E在第四象限,
∴
E1(m,).
当
=时,得
=,
∴ED=2m-4,
∵点E在第四象限,
∴E
2(m,4-2m).
(3)假设抛物线上存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形,则EF=AB=1,点F的横坐标为m-1,
当点E
1的坐标为
(m,)时,点F
1的坐标为(m-1,
),
∵点F
1在抛物线的图象上,
∴
=-(m-1)
2+3(m-1)-2,
∴2m
2-11m+14=0,
∴(2m-7)(m-2)=0,
∴m=
,m=2(舍去),
∴
F1(,-),
∴S
平行四边形ABEF=1×
=.
当点E
2的坐标为(m,4-2m)时,点F
2的坐标为(m-1,4-2m),
∵点F
2在抛物线的图象上,
∴4-2m=-(m-1)
2+3(m-1)-2,
∴m
2-7m+10=0,
∴(m-2)(m-5)=0,
∴m=2(舍去),m=5,
∴F
2(4,-6),
∴S
平行四边形ABEF=1×6=6.
(1)已知函数的图象经过A,B,C三点,把三点的坐标代入解析式就可以得到一个三元一次方程组,就可以求出函数的解析式;
(2)E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似,这两个三角形都是直角三角形,因而应分△AOC∽△EDB和△AOC∽△BDE两种情况讨论.△AOC的三边已知,△BDE中,BD=m-2,而DE=-m.根据相似三角形的对应边的比相等,就可以求出m的值;
(3)四边形ABEF是平行四边形,因而EF=AB,且这两个点的纵坐标相同,E点的纵坐标是m,把x=m代入抛物线的解析式就可以求出点F的横坐标,则EF的长就可以求出.根据EF=AB就可以得到一个关于m的方程,解方程就可以求出m的值.若m的值存在,就可以求出四边形的面积.
二次函数综合题.
本题主要考查了待定系数法求函数的解析式,以及平行四边形的判定方法,是一个存在性问题,在中考中经常出现.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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