平面上有100条直线,它们之间能否恰有1985个不同的交点?

题目

平面上有100条直线,它们之间能否恰有1985个不同的交点?

答案

这个题初看挺复杂,一步步逼近吧：
100条直线若两两相交,可得C(2,100)=4950个交点
设有k个共点的直线是束,每一束中直线的条数为
n1,n2,...,nk(ni≥3,i=1,2,...,k)
有n1+n2+...+nk≤100
这时每一束的交点数减少C(2,n)-1个
为使[C(2,n1)-1]+[C(2,n2)-1]+...+[C(2,nk)-1]=C(2,100)-1985=2965
可取最接近2965的C(2,77)-1=2925代替C(2,n1)-1
取n1=77,类似地取n2=9,n3=4,则有
[C(2,77)-1]+[C(2,9)-1]+[C(2,4)-1]=C(2,100)-1985=2965
这说明：100条直线中,有77条直线共A点,另9条共B点,还有另4条共C点
此外再无“三线共点”或平行线,这时恰好有1985个交点.
所以是存在的,完全可能!