在双曲线X2/25-Y2/9=1上求一点是他到直线L:X-Y-3=0的距离最短

题目

在双曲线X2/25-Y2/9=1上求一点是他到直线L:X-Y-3=0的距离最短

答案

点到L的最短距离就是与L平行,与双曲线相切的切线与它的距离,
设切线方程为:y=x+b
代入得:x^2/25-(x+b)^2/9=1
9x^2-25(x^2+2bx+b^2)=225
16x^2+50bx+25b^2+225=0
判别式=2500b^2-4*16(25b^2+225)=0
b=(+/-)4
最短距离的切线是y=x-4
那么最短距离是:|-3-(-4)|/根号2=根号2/2
y=x-4代入得:x^2/25+(x-4)^2/9=1
解得:x=25/4,y=25/4-4=9/4
即点坐标是(25/4,9/4)