一道高中不等式的应用题

题目

一道高中不等式的应用题
某季节水果A在上市当月的第x天【1≤x≤30,为正整数】的销量价格p=50-|x-6|(元/百斤）,一水果商在第x天【1≤x≤30,为正整数】销量水果A的量为q=a+|x-8|(百斤）（a为常数）,且该水果商在第7天销售水果的销售收入为2009元
这30天中该水果商在哪一天的销量收入最大,为多少?

答案

第x天的销售收入
f(x)=pq
=(50-|x-6|)(a+|x-8|)
f(7)=49*(a+1)=2009
所以a=40
f(x)=(50-|x-6|)(40+|x-8|)
当x<6时,
f(x)=(44+x)(48-x)
=-x²+4x+44*48
=-(X-2)²+2116
f(x)≤f(2)=2116
当6≤x≤8时,
f(x)=(56-x)(48-x)
=x²-104x+56*48
在[6,8]上递减
f(x)≤f(6)=2100
当x>8时,
f(x)=(56-x)(32+x)
=-x²+24x+56*32
=-（x-12)²+1936
f（x)≤f(12)=1936
综上,这30天中该水果商在第2天的销量收入最大,为2116元