若a,b,c,d是互相等的整数,且整数x满足等式（x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-9=0,证明4|a+b+c+d

题目

若a,b,c,d是互相等的整数,且整数x满足等式（x-a)(x-b)(x-c)(x-d)-9=0,证明4|a+b+c+d
提示 x-a,x-b,x-c,x-d互不相等,且都是9的因数

答案

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（x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=9
9的因数有±1,±3,±9
所以四个括号不可能都是正或都是负
所以是二正二负
若有一个括号绝对值是9,则另三个括号绝对值都是1,不合题意
所以±9都不可能
所以四个括号分别是1,-1,3,-3
所以a,b,c,d分别是x-1,x+1,x-3,x+3
所以a+b+c+d=4x
所以4|a+b+c+d