如果a²+b²=1,c²+d²=1,且ac+bd=0,试证：ab+cd=0 （不能用三角函数）

题目

如果a²+b²=1,c²+d²=1,且ac+bd=0,试证：ab+cd=0 （不能用三角函数）

答案

因为 ac+bd=0
所以 a=-bd/c
所以 a^2+b^2=(-bd/c)^2+b^2=b^2*(d^2/c^2+1)
=b^2/c^2=1
于是 b^2=c^2
同理 a^2=d^2
于是 |ab|=|cd|
设P,Q是直角坐标系的2个点 P(a,b), Q(c,d)
由 ac=-bd 可知,P, Q分在相邻的两个象限中
故 a*b 与 c*d 异号,
因此 ab=-cd
于是 ab+cd=0 得证.