已知关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0,a∈R,求方程有两个正根的充要条件.

已知关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0,a∈R,求方程有两个正根的充要条件.

题目
已知关于x的方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0,a∈R,求方程有两个正根的充要条件.
答案
方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0有两个正根的充要条件是:
1−a≠0
(a+2)2+16(1−a)≥0
a+2
a−1
>0
4
a−1
>0

解得1<a≤2,或a≥10
答:方程(1-a)x2+(a+2)x-4=0有两个正根的充要条件是1<a≤2,或a≥10.
方程有两个正根,首先要保证方程有两个根,即该方程为二次方程(二次项系数不为零),且△≥0,再由根与系数的关系,可得两根之和、两根之积均为正,构造不等式组,解不等式组即可得到答案.

充要条件.

本题考查的知识点是充要条件,二次函数的性质,函数的零点与方程根的关系,其中根据二次函数的图象和性质,构造相对的不等式(组)是解答本题的关键.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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