已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上,且AE=BF,FH∥EG∥AC,FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G. (1)如图1,如果点E、F在边AB上,那么EG+FH=AC; (2)如图2,如
题目
已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上,且AE=BF,FH∥EG∥AC,FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G.
(1)如图1,如果点E、F在边AB上,那么EG+FH=AC;
(2)如图2,如果点E在边AB上,点F在AB的延长线上,那么线段EG、FH、AC的长度关系是______;
(3)如图3,如果点E在AB的反向延长线上,点F在AB的延长线上,那么线段EG、FH、AC的长度关系是______.
对(1)(2)(3)三种情况的结论,请任选一个给予证明.
答案
(1)证明:∵FH∥EG∥AC,
∴∠BFH=∠BEG=∠A,△BFH∽△BEG∽△BAC.
∴
==.
∴
=.
又∵BF=EA,
∴
=.
∴
=.
∴AC=FH+EG.
(2)线段EG、FH、AC的长度的关系为:EG+FH=AC.
证明(2):过点E作EP∥BC交AC于P,
∵EG∥AC,
∴四边形EPCG为平行四边形.
∴EG=PC.
∵HF∥EG∥AC,
∴∠F=∠A,∠FBH=∠ABC=∠AEP.
又∵AE=BF,
∴△BHF≌△EPA.
∴HF=AP.
∴AC=PC+AP=EG+HF.
即EG+FH=AC.
(3)线段EG、FH、AC的长度的关系为:EG-FH=AC.
如图,过点A作AP∥BC交EG于P,
∵EG∥AC,
∴四边形APGC为平行四边形.
∴AC=PG.
∵HF∥EG∥AC,
∴∠F=∠E,∠FBH=∠ABC=∠PAE.
又∵AE=BF,
∴△BHF≌△EPA.
∴HF=EP.
∴AC=EG-EP=EG-HF.
即EG-FH=AC.
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