设A,B,C是三个互不相等的正整数,求证：

题目

设A,B,C是三个互不相等的正整数,求证：
在a*a*a-a*b*b*b, b*b*b*c-b*c*c*c, c*c*c*a-c*a*a*a三个数中,至少有一个数能被10整除：

答案

a^3b-ab^3=ab(a+b)(a-b);所以不论a,b的奇偶性,这三个数必然是偶数.以下只要证明a,b,c,a+b,a+c,b+c,a-b,b-c,c-a中有一个能被5整除就行了.如果a,b,c中有一个能被5整除,命题成立.若a,b,c中有两个数被5除余数相同,不妨设为a和b,则a-b能被5整除,命题成立.若a,b,c三个数被5除余数都不同,由于整数被五除只有五种情况,但整除的情况已经被排除,即只剩下余1,2,3,4.现将1,4归为一组,2,3归为一组,按鸽笼原理,a,b,c必有两个数再同一组,同一组的两个数相加能被五整除,这种情况命题也成立.综上所述,命题成立.