如图,已知△ABC外作正方形ABCD和ACGF,M是BC的中点求证:AM=1/2EF

题目

如图,已知△ABC外作正方形ABCD和ACGF,M是BC的中点求证:AM=1/2EF

答案

延长AM至H,使MH=AM,连接HC
因为 MH=AM,BM=MC,角BMA=角CMH
所以 三角形BMA全等于三角形CMH
所以 HC=BA,角ABC=角BCH
所以 HC//BA
因为 正方形ABCD和ACGF中 角EAB=角FAC=90度
所以 角EAF+角BAC=360-90-90=180度
因为 三角形ABC中 角ABC+角BCA+角BAC=180度
所以 角EAF=角ABC+角BCA
因为 角ABC=角BCH
所以 角EAF=角BCH+角BCA=角HCA
因为 正方形ABCD和ACGF中 EA=BA,AF=AC
因为 HC=BA
所以 EA=HC,AF=AC
因为 角EAF=角HCA
所以 三角形EAF全等于三角形HCA
所以 EF=AH
因为 MH=AM=1/2AH
所以 AM=1/2EF