已知椭圆的离心率e=√2/2,斜率K=1切过左焦点的直线被椭圆截得的弦长为4√2,求椭圆

题目

已知椭圆的离心率e=√2/2,斜率K=1切过左焦点的直线被椭圆截得的弦长为4√2,求椭圆

答案

设直线交椭圆两点A(x1,x1+c),B(x2,x2+c)
A到左焦点距离=√2(x1+c),B到左焦点距离=√2(x2+c)
√2(x1+c)+√2(x2+c)=4√2,即x1+x2=4-2c
ex1+a+ex2+a=4√2,即x1+x2=8-2√2a
8-2√2a=4-2c,a=√2c
所以a=2√2,c=2
椭圆方程即x²/8+y²/4=1.