如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且BE=AC．求证：∠DEC=45°．

题目

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且BE=AC．求证：∠DEC=45°．

答案

证明：∵∠ABC=45°，AD⊥BC，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
在Rt△ACD和Rt△BDE中，

BE＝AC AD＝BD

，
∴Rt△ACD≌Rt△BDE（HL），
∴CD=DE，
又∵AD⊥BC，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∴∠DEC=45°．

判断出△ABD是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得到AD=BD，然后利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△BDE全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=DE，判断出△CDE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据图形确定出全等的三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．