.已知正项数列{An}中,nA（n+1）平方-AnAn+1-(n+1)An^2=0(n∈N+),A1=1,则通项An=

题目

.已知正项数列{An}中,nA（n+1）平方-AnAn+1-(n+1)An^2=0(n∈N+),A1=1,则通项An=

答案

因为n[a(n+1)]²-ana(n+1)-(n+1)(an)²=0
由十字相乘：该式可分解成：[na(n+1)-(n+1)an].(a(n+1)+an) =0；
所以：na(n+1)-(n+1)an=0或a(n+1)+an=0
因为：该数列是正项数列,即：an>0,所以a(n+1)+an=0(舍),不成立；
所以：na(n+1)-(n+1)an=0,
即：a(n+1)/an=(n+1)/n
an/a(n-1)=n/(n-1)
a(n-1)/a(n-2)=(n-1)/(n-2)
……　　　　……
　　a3/a2=3/2
a2/a1=2/1
将这些关系式左右分别相乘得：a(n+1)/a1=(n+1)/1,因为a1=1；
所以：a(n+1)=n+1,(n≧1)又因为a1=1也成立；
所以：an=n,(n∈N+),