已知球的体积等于底面半径为R,轴截面是直角三角形的圆锥面积.则球的半径为

题目

已知球的体积等于底面半径为R,轴截面是直角三角形的圆锥面积.则球的半径为

答案

设球的半径为r,则球的体积为 V球=4πr³/3
设圆锥的顶点为A,底面圆的圆心（即A在底面的投影）为O,过O点作圆的任一直径BC,连结AB,AC
圆锥的底面积为 S=πR²,高为 h=AO
三角形ABC就是该圆锥的轴截面,所以三角形ABC是直角三角形,∠BAC=90°
因为O是BC的中点（即斜边中点）,所以有 AO=BC/2=BO=R,h=AO=R
故圆锥的体积为 V锥=πR²h/3=πR³/3
由于 V球=V锥
所以 4πr³/3=πR³/3
(r/R)³=1/4
r/R=(1/4)^(1/3)-------对1/4求立方根
r=(1/4)^(1/3)R
也可以写成
r=R/[4^(1/3)]----------R除以4的立方根