已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0,直线l:y=x +b 是否存在直线l,使l于圆c交于a.b两点 且以ab为直径的圆过原点

题目

已知圆C:x^2+y^2-2x+4y-4=0,直线l:y=x +b 是否存在直线l,使l于圆c交于a.b两点 且以ab为直径的圆过原点

答案

设存在直线L:y=x+b,把它代入x^2+y^2-2x+4y-4=0得2x^+2(b+1)x+b^+4b-4=0, A(x1,y1), B(x2,y2), 则x1+x2=-(b+1)…①, x1x2=(b^+4b-4)/2…②.以弦AB为直径的圆的方程是:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0, 它过原点, ∴ (0-x1)(0-x2)+(0-y1)(0-y2)=0, 即 x1x2+y1y2=0, 而y1y2=(x1+b)(x2+b), ∴ 2x1x2+b(x1+x2)+b^2=0, 把①,②代入得 b^2+3b-4=0, ∴ b=1或b=-4, ∴ 直线L的方程为:y=x+1或y=x-4